Éste blog nace como punto de encuentro entre los socios de la Asociación High Ability Dimension de todas aquellas personas interesadas en colaborar con nosotros en nuestros fines, y el de todas aquellas familias y profesionales de la docencia que necesitan información y ayuda en el tema de la Alta Capacidad Intelectual y el Talento.

Todo esto con un único fin:

Que los niños y niñas sean felices

CARNAVAL DE MATEMÁTICAS

 LA LUNA COMO ESPACIO MATEMÁTICO

Esta entrada participa en la Edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es Geometría Dinámica



 Premio por esta entrada en la edición de Junio del Carnaval de Matemáticas. 
Muchas gracias a todos por vuestros votos.


A veces nos dicen que "los matemáticos estamos en la luna", y en cierto modo es cierto, porqué estamos hasta en la luna. Aquí tenemos las pruebas, con fotos de la NASA.




Cráter Euler, 28 km de diámetro y 2,5 km de impacto.


Cráter Euler. Apollo 17



Cráter Hipatia, 8 x 41 km de diámetro, a 4,3º S y 22,6º E del meridiano lunar, a 70 km al norte del cráter se encuentra un sistema de canales llamado Rimae Hypatia.


Cráter Hipatia


   Cráter Abel, 122 km de diámetro, 1,19 km de impacto, las coordenadas son 34,5º S y 87,3º E. 
Cráter Abel

El cráter Gauss tiene un diámetro de 177 km, y un impacto de 2,64 km, y sus coordenadas son 35,7º N, 79,0º E.

Cráter Gauss

El cráter Al-Khwārizmī presenta un diámetro de 65 km, latitud 71,1º N y longitud 106,4 E.

Cráter Al-Khwarizmi

El cráter Cantor, con diámetro 75,72 km y con coordenadas 37,98º N y 118,5º E.


Cráter Cantor

El cráter de Pitágoras tiene un diámetro de 130 km, una profundidad de impacto de 5,0 km,  y presenta unas coordenadas de 63,5º N y 62,8º O.

Cráter Pitágoras

El cráter Euclides es de un diámetro de 12 km y tiene una profundidad de impacto de 1,3 km, sus coordenadas son: 7,4º S y 29,5º O.


Cráter Euclides

Para finalizar os dejo un programa de google por si os quereis entretener en buscar a otros matemáticos.






Referencias

http://gaussianos.com/matematicos-en-la-luna/



Araceli Giménez Lorente






       TALLER: LA CUARTA DIMENSIÓN   


Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es Matemáticas interactivas y manipulativas


El último taller de dimos de introdución a la topología a los niños de HAD fué sobre la cuarta dimensión, realizado el día de la madre, el 4 de mayo.

Para hablar de la cuarta dimensión empezamos por los sólidos platónicos, que son uno más que en la tercera dimensión. Uno de los conceptos que debemos saber es que las sombras y las caras de los politopos siempre son de una dimensión menos, así tenemos el ejemplo de que las caras y la sombra de un hipercubo (cubo en la cuarta dimensión) son cubos, a diferencia que las caras y la sombra de un cubo son cuadrados bidimensionales. 

Vamos a presentar los 6 sólidos platónicos en la cuarta dimensión. Primero empezaremos con una definición.






Y ahora hablaremos de ellos uno  a uno, de modo breve.

En primer lugar tenemos el Pentácoron (4-símplex) es análogo al Tetraedro. Tiene 5 celdas que son tetraedros, y 5 vértices, 10 aristas y 10 caras.


Hipercubo (Teseracto), análogo al cubo. Tiene 8 celdas cúbicas, 24 caras cuadradas, 32 caras y 16 vértices.


Hexadecacoron (16-celdas). Está compuesto por 16 celdas, todas ellas tetraedros, tiene 32 caras triangulares, 24 aristas y 8 vértices.




 Icositetracoron (24-celdas). Tiene 24 celdas en forma de octaedro, 96 caras triangulares, 96 aristas y 24 vértices.




Hecatonicosacoron (120-celdas); análogo del dodecaedro. Está formado por 120 celdas dodecaédricas, 720 caras pentagonales, 1200 aristas, y 600 vértices.




 Hexacosicoron (600-celdas); análogo al icosaedo. Presenta 600 celdas, todas ellas tetraedros, 1200 caras triangulares, 720 aristas, y 120 vértices.


También estudiamos su desarrollo.





Después de estudiar la teoría hicimos una actividad con los niños montando un hipercubo. Los materiales eran palillos de madera, que préviamente estaban recortados por mi para evitar que los niños se dañasen, plastilina para los vértices, aunque la pasta de modelar es más conveniente y por último hilo de pescar para hacer la cuarta arista.











Como en el taller anterior habíamos estudiado una breve introdución al teorema de clasificación de las superfícies y las superfícies modelo, estudiamos también estan superfícies en la cuarta dimensión. Recordemos el teorema: toda superfície compacta y conexa es homeomorfa a una esfera o a la suma conexa de g toros o a la suma conexa de h planos proyectivos.

Estudiamos las tres superfícies que necesitamos para entender otras superfícies, en la cuarta dimensión. Tenemos el toro en la cuarta dimensión.





El Plano Proyectivo está ya en la cuarta dimensión, por debajo siempre son proyecciones.








Y tenemos por último la hiperesfera (esfera en la cuarta dimensión).






La segunda actividad que realizamos fué crear una hiperesfera, en realidad era la proyección de una hiperesfera tetradimensional vista desde la tercera dimensión. En analogía a la obra de Edwin Abbott Planilandia. En concreto, y ya que era el día de la madre hicimos una pulsera simulando la hiperesfera, y también se realizó un collar. 











Y esto fué todo. Ya preparando el próximo taller, pero el tema no se desvelará hasta la próxima edición del Carnaval. Esperamos que os haya gustado el taller. Y como siempre nosotros nos lo pasamos genial, tanto la profesora como los jóvenes alumnos.



Referencias

Mascaró, Francisca. Tema 44: Conjunto Clásico de Dimensión dos. Apuntes de la asignatura "Geometría y Topología de Dimensiones Bajas". Licenciatura de Matemáticas, Universitat de València.





Araceli Giménez Lorente



TALLER DE SUPERFÍCIES

Esta entrada participa en la Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas

cuyo blog anfitrión es eulerianos



Hace un par de domingos, dimos un Taller de Superfícies, desde la perspectiva de la topológía algrebraica. Nos centramos en las Superfícies Modelo. 

Primero hablamos de el porqué la forma no importa, o no importa tanto y empezamos por contar un chiste matemático:

Un topólogo es una persona incapaz de distinguir entre una taza y un donut.




Así que hablamos de que las superfícies son homeomorfas, y que podemos distingir aquellas que tienen agujero de las que no, y las que tienen borde de las que no lo tienen. Como por ejemplo, esta superficie tiene tres agujeros y ningún borde, que es un triple toro.




En segundo lugar empezamos a triangular una superfície y así demostramos además que algo puede cambiar de forma sin dejar de ser el mismo. Y empezamos a jugar a la esfera transformable.




Y pasamos a triangular tres superfícies. El toro, el plano proyectivo y la esfera. ¿Por qué sólo estas tres superfícies?, porque por el teorema de la clasificación de las superfícies, toda superfície compacta y conexa es homeomorfa a una superfície modelo, a una esfera, o bien a la suma conexa de g toros o de h planos proyectivos. 




La relación matemática que le acompaña es la Característica de Euler-Poincaré, que representaremos por la letra griega chi, \chi. Veamos el orígen de la ecuación. La fórmula viene de los poliedros:

V - A + C = 2

La relación entre los vértices de un poliedro menos las aristas más las caras es siempre igual a dos en la tercera dimensión. Así al triangular las superfícies las convertimos en poliedros, y las podemos reducir a tres referencias, los vértices, las aristas y las cara; veamos por ejemplo el toro donde tenemos 9 vértices, 27 aristas y 18 caras, pero siguiendo la fórmula nos da 0, así tenemos tres Características de Euler-Poincaré diferentes, 0 para el toro, 1 para el plano proyectivo y 2 para la esfera, así que la fórmula de la que hemos partido nos dice que los poliedros son homeomorfos a una esfera. ¿Pero todos los poliedros convexos en la tercera dimensión son homeomorfos a una esfera?. Estudiemos éste:



Poliedro Toroidal



Éste poliedro tiene 22 vértices, 48 caras  y 70 aristas, y por la fórmula tendremos:


22 - 48 + 70 = 0, 

lo que lo hace homeomorfo al toro, así que recibe el nombre de poliedro toroidal. Motivados por el concepto del toro fabricamos uno con muelles de colores.









 Si aún no nos ha quedado claro que es la Característica de Euler-Poincaré, podemos leer un cómic de Jean-Pierre Petit, llamado el el Topologicón, veamos un fragmento:






Volviendo a las superfícies modelo vamos un paso más allá, asociaremos a cada superfície modelo una palabra, así dónde escribimos la letra x implica una dirección que podemos representar por una flecha -------> , y si escribimos X -1 la flecha estará orientada en el sentido contrario, es por ello que podemos diferenciar entre \chi  -1 que representa a la esfera, y  
\chi  X  que es un plano proyectivo, así que ya sabemos que es un plano proyectivo, una esfera que no tiene orientación.





Veamos algo más sobre el plano proyectivo. Un ejemplo del plano proyectivo es la banda de moebius.





Esta superficie no es orientable. Si colocas la esfera de un reloj a las cuatro y cinco sobre la cinta de Möbius y das una vuelta completa (suponemos que no empleamos tiempo en recorrerla) puedes observar como las cuatro y cinco han pasado a ser las ocho menos cinco. Otro ejemplo desconcertante puedes encontrarlo si te tumbas sobre la banda de Möbius y te deslizas sobre ella con el brazo derecho levantado, al dar una vuelta completa aparecerás con el brazo izquierdo levantado.

Hicimos una serie de experimentos con una banda de moebius que realizamos en goma-eva.








Primero cerramos una tira de goma-eva en forma de círculo y encontramos dos caras, y con la segunda tira le damos media vuelta antes de cerrarla hasta construir la banda de moebius, así que las dos superfícies las cortamos por la mitad, ¿y qué obtenemos?...no, no lo vamos a decir, hagan el experimento y lo descubrirán. 


Aquí tenemos las dos superfícies unidas, de recordatorio para que no olvidemos las diferencias entre ellas.





Y otro ejemplo del plano proyectivo es la botella de klein. Vamos a estudiarla y sabremos que es.Prueba que la botella de Klein es homeomorfa a dos bandas de moebius pegadas.



¿Lo veis, no?. Lo intentamos con otras imágenes.





Una vez que nos quedó claro la relación entre la banda de moebius y la botella de klein, nos decidimos a crear la última superfície modelo que nos quedava, la esfera, así que hicimos unas pelotas de arroz envueltas en papel albal, y luego la cubrimos con globos de colores que fuimos recortando parcialmente para que se viesen todos los colores que pusimos, hasta tres. Evidentemente la esfera en sí es el globo inicial.











Y ahora a sumar superfícies. A esta suma se le llama suma conexa y su símbolo es el sostenido que tenemos en música. Primero definimos la suma conexa de M1 y M2,  M1♯M2, como el espacio resultante de pegar M1 −U1 con M2 − U2, punto a punto, a lo largo de la frontera de U1 y U2, en nuestro ejemplo quitaremos un trocito de las esferas y del toro para unirlas. Asociaremos una palabra diferente a cada superfície, donde cada letra representa una arista de nuestra superfície a sumar y pondremos una flecha sobre cada lado para así saber su orientación, y a continuación haremos un dibujo en el que no importa la forma, orientando las flechas según las letras, hacía la derecha si es de la forma x, y hacia la izquierda si lo es de la forma -1, y numerando los vértices: aquí consideramos una sóla cara ya que suponemos un modelo plano, de modo que los vértices sean también los vértices de la triangulación. Recorremos la frontera del polígono que hemos dibujado en el sentido de las agujas del reloj y contamos los vértices.

Y trabajamos sobre la fórmula:


V-A+1




Como podemos ver en la imagen donde hemos llamado a las aristas (ejes), el resultado de la fórmula es 0, así que cuando le sumamos a un toro dos esferas tendremos una forma parecida a esta representación mía artística realizada con el programa 3D-Studio Max.  




En conclusión, nos iniciamos en el tema de las Superfícies Topológicas, los niños entendieron que por muchas formas que existan en el Universo, mientras estas formas sean superfícies compactas y conexas son homeomorfas a tres superfícies modelo, a una esfera, o bien a la suma conexa de g toros o de h planos proyectivos. . Y estas tres las realizamos con materiales seguros para ellos, y así, al implicarlos en la actividad y no dar una simple (o en éste caso complicada) clase de matemáticas, ellos participan activamente, y seguro que nunca olvidarán estas tres superfícies. Creo que para todos ha sido una experiencia positiva, ya que nos lo pasamos genial.


Referencias

Mascaró, Francisca. Tema 5: Superfícies. Apuntes de la asignatura "Geometría y Topología de Dimensiones Bajas". Licenciatura de Matemáticas, Universitat de València.

http://topologia.wordpress.com/2008/10/23/8-la-formula-de-euler-para-poliedros-v-ac2/

http://topologia.wordpress.com/2009/01/03/clasificacion-de-superficies-i/




Araceli Giménez Lorente




NIÑOS Y MATEMÁTICAS

Esta entrada participa en la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es High Ability Dimension




Creo que casi todos tenemos claro que las matemáticas son una disciplina que exige ser  un talento, ¿alguien imagina a una bailarina de ballet que toma sus primeras clases a los 18 años?, ¿y un violinista que decide a los 40 tomar sus primeras clases y presentarse al Conservaorio Superior de Música?...¿no?, ¿pues entonces porqué imaginamos que un matemático o físico necesita tener 18 años cronológicos para entrar en la facultad?

Pues eso es lo que exige el sistema educativo español, aunque hemos avanzado en los últimos años, no es mucho, se puede adelantar a un niño con altas capacidades intelectuales un año en primaria y otro en secunadaria, así que con 15 años pueden ir a la facultad, pero esto son casos excepcionales porque sólo se considera de altas capacidades si se tiene un C.I igual o superior a 130, y sólo se le hará una adaptación curricular o acceleración escolar si tiene ese C.I estandar; pero resulta que un talento tiene 120 C.I, pues al realizar los test se hace una media, así que se puede ser un genio en matemáticas pero dar una nota mediocre en inteligencia verbal o en psicomotricidad y sacar menos de 100 C.I (que es lo "normal") al hacer la media.  Y esto es sólo si tienes pensamiento convergente, pues si eres de pensamiento divergente, como implica ser a veces excesivamente creativo muchas veces se anulan respuestas en los test, ya que el psicólogo que suele ser una persona usual, tiene un libro de respuestas en las que sólo se considera una única solución, así que a una persona creativa nunca se le valora su C.I. real.




Sabemos con toda seguridad que los grandes matemáticos han sido precoces, como por ejemplo María Gaetana Agnesi a quien llamaban a los 9 años el oráculo de las 7 lenguas, o Galois que a pesar de su juventud ya tenía sus logros, y sólo era posible de haber empezado antes, ¿alguien imagina a Euler de niño?...Digamos que todos fueron precoces, sólo hay que leer la biografía de los grandes matemáticos.

¿Y que podemos hacer?. Pues primero los maestros y profesores de secundaria y bachillerato deberían reconocer que cada año pierden talentos si ellos no actúan, para ello hay que reconocerlos, y sino se tiene formación podrían pedir ayuda por ejemplo a asociaciones que tengan cerca. Y los padres estar a pié de cañón, y no pensar que la inteligencia es un problema, pues no lo es, es una ventaja educativa.

¿Cómo reconocer a estos niños?. Si el niño a los 18 meses lee los números de un cartel, o cuenta las hojas de un árbol porque se aburre ; si a los 2 años lee las matrículas de los coches y juega con los números a los 3 años sumándolos o restándolos. Si a los 4 años se inventa un idioma (idioglosia) utilizando un código de letras y números, si aprende las tablas de multiplicar en infantil, o hace raices cúbicas a los 10 años porque se aburre... no le pongan freno, es necesario ayudarlo para evitar el fracaso escolar e incluso la depresión infantil. Busquen programas on-line, asociaciones, y lo que haga falta porque nuestro futuro no son las cosas materiales, sino los niños, y nuestro mayor logro será hacerlos felices, sólo así, con la sonrisa de un niño reiremos nosotros.
Araceli Giménez



ADN Y MATEMÁTICAS

 Esta entrada participa en la Edición 3.141592653 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es Que no te aburran las M@TES






Hace dos semanas Ruth Ciscar y yo hicimos un taller de ADN con los niños de HAD, primero explicamos la parte teórica desde una perspectiva biológica, química hasta acabar hablando del ADN y las matemáticas. Luego pasamos a una actividad de laboratorio, pero ello será cuestión de otro Carnaval. Aquí nos ocuparemos de la relación entre el ADN y las matemáticas.


¿Por qué ADN y matemáticas?. Simplemente porque el ADN está anudado y según como lo esté cumple unas funciones u otras, como la replicación, la transcripción y la recombinación; lo veremos con más calma.

  La teoría de nudos es una rama de las matemáticas, en concreto de la topología algebraica, y que se estudian las dimensiones bajas, ya que los nudos aunque los representemos en dos dimensiones son tridimensionales; para que podamos entender todos la definición un nudo es una curva cerrada y anudada que con tres movimientos, que son los movimientos de Reidemeister se deshace en un nudo trivial (un círculo) o se transforma en otro. Hay una tabla de nudos fundamentales, lo veremos con imágenes.


Los movimientos de Reidemeister

Tabla de nudos

Volviendo al tema que nos ocupa, el ADN: de los anudamientos de la molécula de ADN se deducen como actúan las enzimas detectando los cambios por microscopio electrónico. Para entender que hace la topología para estudiar el ADN necesitamos tener en cuenta tres parámetros que se asocian a la molécula del ADN circular. El primero es el número de enlace, L, para calcularlo suponemos dos cuerdas entrelazadas, que se cruzan de manera que se generan unos nodos donde siempre una cuerda estaré por debajo de la otra, como vemos en la imagen de abajo, número de enlace, si la segunda cuerda no corta a la primera el número será 0,  L(C1,C2)=0,  si la corta dos veces tendremos 2,  L(C1,C2)=2,  y si la corta 1 el mismo número, L(C1,C2)=1.



Número de enlace

El segundo parámetro es el número de enrollamiento, y que designamos por la letra T. En una molécula del ADN los nucleótidos se encuentran emparejados por puentes de hidrógeno, en una representación usual se representan estos enlaces como una escalera de caracol, y T es el ángulo descrito por los peldaños, es decir, es el número de vueltas de la hélices de la molécula del ADN respecto un eje fijo común a las dos hélices.

Y el tercer parámetro es el número de retorcimiento, W, que mide cuanto y cómo de plana es la molécula.


Retorcimiento



¿Y cómo enlazamos estos tres parámetros en una ecuación con sentido?, por la fórmula de White:


L = T + W

Sabemos que en la molécula del ADN hay almacenada energía elástica, además la temperatura juega un papel fundamental. A menor temperatura la molécula tiende a enrollarse más, así que tenemos un ángulo menor y un incremento de L y T. Si la molécula tiene un menor enrollamiento porque la temperatura es mayor, esto favorece los procesos de replicación y de transcripción ya que la molécula se encuentra relajada.

  Existe una paradoja llamada problema de alineación.


Si las dos hebras de la molécula están entrelazadas en forma de doble hélice y cuando se replican se separan en dos moléculas diferentes, ¿cómo es posible que ambas puedan separarse si están entrelazadas mutuamente?.

  Esto ocurre por unas enzimas llamadas topoisomerasas, relativas al ADN-girasa y el ADN-helicasa cortan las hebras de las moléculas y las vuelven a unir en otro punto diferente. Esta acción crea un cambio en la geometría del ADN.




Y para acabar esta pequeña introducción dejamos un chiste sobre el ADN.





Referencias

Fuente principal:
http://www.um.es/eubacteria/revista-pdf/MatematicasADN.pdf

Otras fuentes:






LAS TORRES DE HANOI 

Esta entrada participa en la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es 
pimedios



  Esta mañana hemos realizado después de la fantástica conferencia que hemos tenido en la asociación sobre la fundación Promete a cargo de Paco Rivero, una pequeña introdución a  las torres de hanoi.




 Existe una fórmula para determinar el número de movimientos mínimos para realizar las torres de hanoi.


 Donde n es el número de discos que contiene la torre. A la potencia resultante le restamos la unidad y tenemos el mínimo número de movimientos que necesitamos para realizar el juego.

 Existe una conexión entre las Torres de hanoi y el triángulo de Sierpinski, mediante la teoría de grafos, fué descubierta por el matemático Ian Stewart profesor de The University of Warwick (Inglaterra), quién es un excelente matemático y divulgador y que sentí mucho no poder asistir a sus clases durante mi estancia en U.Warwick debido a un congreso. La notación es la siguiente, a cada torre se le asocia un número, la torre de la izquierda tiene el número 1, la central el dos y la de la derecha el 3, así que miraremos configuraciones posibles en relación con los discos, así tenemos que cada serie tiene una única configuración.  Tenemos una animación de la wikipedia sobre como se juega con 4 discos, el mínimo número posible son 15 movimientos.



Configuración para un disco

Configuración para dos discos


Configuración para tres discos

Para un disco sólo tenemos tres configuraciones: (1),(2),(3); para dos discos tenemos nueves configuraciones posibles y para tres discos existen 27 configuraciones diferentes.




  Así que hay una relación entre las torres de hanoi y la torre fractal, el triangulo de Sierpinski. Y para acabar tenemos a los niños jugando con un fractal hecho de fieltro, cortesía de nuestro cibermentor José Luis Rodríguez Blancas




Referencias

Juegos de Ingenio- RBA.




Araceli Giménez Lorente




CALEIDOSCOPIO

Esta entrada participa en la Edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es Series divergentes

animación teleidoscopio

  Esta mañana hemos realizado un taller sobre las imágenes caleidoscópicas. Hemos explicado que cuando ponemos un objeto entre dos espejos paralelos, se repetirá este infinitamente, y la imagen decrecerá en progresión geométrica.  Si ponemos dos espejos en diferentes ángulos la imagen se repetirá al reflejarse; si el ángulo es de 90º tendremos dos reflejos, ¿y si cambia el ángulo?. Pues aquí tenemos la respuesta gracias a una exposición virtual llamada Matemáticas experimentales.

http://www.experiencingmaths.org/

http://www.experiencingmaths.org/

http://www.experiencingmaths.org/

http://www.experiencingmaths.org/

http://www.experiencingmaths.org/

http://www.experiencingmaths.org/

http://www.experiencingmaths.org/


http://www.experiencingmaths.org/

http://www.experiencingmaths.org/

http://www.experiencingmaths.org/

  Después de la teoria pasamos a la práctica, pusimos dos espejos cambiando de ángulo como en la exposición virtual ya comentada, y nos sorprendimos, a medida que cambiabamos el ángulo de los dos espejos y este se hacía más agudo, más se multiplicaban nuestro objeto, en este caso hemos utilizado de referente el juego de la serpiente de Rubik en la versión bola blanca, si quieren saber sobre este juego matemático pueden leer: el juego de la serpiente de Rubik y el teorema de la triangulación


  Pero para hacer el caleidoscopio necesitabamos un tercer espejo, para hacer un prisma triangular, así que con cartón y papel espejo (apto para todos los públicos) lo hicimos y lo metimos dentro de su recipiente.

 
  Ahora lo que toca es poner cuentas de colores y transparentes y algunas lentejuelas, con cuidado para no saturar nuestro caleidoscopio.




Hay que hacer una mirilla para ver el resultado.


  
 Como somos de pensamiento divergente hubo alguna que otra distracción, pero todos llegamos a nuestro objetivo final. Enrique no fué el único que se distrajo.


Paula, impaciente, prueba si la densidad de los objetos que ha introducido es la adecuada. ¿Son pocos?, ¿son muchos?. Con el método de prueba y error.


Y sólo queda decorarlos exteriormente, con diseños sorprendentes y papel holográfico.








Bueno, no todos, hubo quien eligió el papel de regalo.



Y las imágenes que veiamos eran simplemente alucinantes.















 Los 11 niños y niñas de HAD que realizaron este taller, también dibujaron una imagen caleidoscopica entre todos. Utilizando el programa: http://www.zefrank.com/dtoy_vs_byokal/index.html

Hemos filmado un video con el resultado. Esperamos que sea de su agrado.



 
 Explicación científica


El principio relativo a la óptica física que explica el funcionamiento del caleidoscopio es el de la reflexión de la luz. Sabemos que la luz viaja en línea recta,  pero cuando cambia de medio como el cambio de aire al agua o choca contra un espejo, cambia de dirección, y rebota la imagen. El caleidoscopio moderno fue inventado en 1816 por el físico escocés David Brewster.

  El principio matemático es de simetria especular. Si ponemos un espejo paralelo al otro, y un objeto en medio, el objeto en cuestión se repetirá infinitas veces, pero disminuyendo el tamaño, ya que la imagen rebota en los dos espejos. Si el ángulo de los espejos es de 45º se generan 8 imágenes duplicadas, si el ángulo es de 60º habrá 8 duplicados, y con 90º tendremos 4 imágenes repetidas.

    El caleidoscopio está formado por tres espejos enfrentados que forman un prisma triangular. Dentro tiene cuentas de plástico o de cristal de colores que se reflejan en los espejos, y vemos esas formas porque lo que se refleja en un espejo rebota y se refleja en los otros dos,  dependiendo de los ángulos en los que esten los espejos, como se ha comentado antes.

    Lo especial de este fenómeno es que los rayos de luz quedan rebotando en los espejos una y otra vez atrapados en un espacio especular.



Objetivos 

  Esta actividad contiene una temática multidisciplinar, hemos visto conceptos de matemáticas, en especial de geometría y otros conceptos referentes a la óptica física. Además hemos diseñado un producto y también los niños realizaron unos dibujos con infografia que el programa animó para construir una simulación de caleidoscopio.


    Referencias


http://www.experiencingmaths.org/ 

http://www.zefrank.com/dtoy_vs_byokal/index.html 

Material didáctico

Juego para montar un caleidoscopio: KaleidoScope Making Kit. Kidz Labs. Fun Science Products 

Materiales 

1.tubo de cartón del interior del papel de cocina.
2. cuentas para hacer collares, transparentes y de colores.
3. papel vegetal o acetato.
4. cartón.
5. papel espejado o espejos.  
6. lámina holográfica o papel de regalo.
 


Este taller ha sido realizado por Araceli Giménez y Ruth Ciscar.

Texto y fotos: 
Araceli Giménez Lorente

 

VELOCIDAD EN NUDOS
Y LA GEOMETRÍA DE UN GALEÓN.

Esta entrada participa en la Edición 3.141592 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es ZTFNews.org




El pasado domingo 23 de septiembre visitamos con los niños de HAD y sus padres la copia de un galeón español del siglo XVII, llamado la Pepa que había atracado en el puerto de Valencia. 



  Una de las cosas que nos llamó la atención fué el concepto de la velocidad en nudos, vamos a explicar brevemente los que significa. Tenían una cuerda con nudos donde entre un nudo y el otro había la medida de una braza, que es la longitud de un par de brazos extendidos (aproximadamente dos metros), la braza cambia de longitud según sea española o inglesa; la braza española son 1,852 m, y la braza inglesa o fathom, es 1,8288 m. 


. Veamos, tenían una especie de barreño con una cuerda atada en uno de sus estremos a un peso, que originariamente era un tronco, esta cuerda con los nudos la soltaban al agua por la popa cada cierto tiempo, midiendo el tiempo con un reloj de arena de medio minuto. Al principio la cuerda no tenía nudos, el tiempo suficiente para que el tronco florara, luego contaban los nudos y sabían la distancia que había recorrido el barco. Os pongo la tabla de equivalencia de velocidades.

 1 nudo = 1 milla náutica por hora = 1852 m/h = 0,5144 m/s

Así que aplicando la ecuación de mecánica newtoniana la velocidad viene dada por el espacio partido por el tiempo:


v = e / t

Donde el espacio serían los nudos contados y el tiempo viene dado por el intervalo de medio minuto que había en los relojes de arena que se utilizaban, esos relojes al acabar el medio minuto se les daba la vuelta para poder seguir contando, así es que había un error humano, digamos que de un par de segundos.



  He hecho un pequeño experimento que podeis hacer en casa, mi reloj de arena es de 9,14 minutos aproximadamente, ¿cómo lo sé?, pues he cogido un cronómetro digital y he controlando el tiempo que tarda en caer la arena con el; tardo 2,67 segundos en darle la vuelta. Aunque hay relojes que estan mejor calibrados y miden 5, 10 o 15 minutos aproximadamente la mayoría no están bien calibrados. Hay relojes de arena de hasta una hora y los hay incluso gigantescos que pueden medir un día, 24 horas. Y también los hay del siglo XXI, vean el salvapantallas de este reloj que ha sustituido la arena por los píxeles.





 Aquí tenemos una tabla de referencia rápida para convertir nudos en kilómetros por hora que es la medida del Sistema Internacional. En nuestra cultura es más fácil trabajar con el concepto de kilómetros por hora, ya que lo usamos a diario, cuando vamos en el coche o en el autobus, en el metro, en el tren o en el tranvía, entre otros transportes.

Nudos Kilometros por hora
11,852
23,704
35,556
47,408
59,26
611,112
712,964
814,816
916,668
1018,52
1527,78
2037,04
2546,3
3055,56
3564,82
4074,08
4583,34
5092,6
60111,12
70129,64
80148,16
90166,68
100185,2
150277,8
200370,4
250463
500926
10001852

  Los niños se lo pasaron genial en la visita al galeón español, y los adultos también. Aquí tienen un ejemplo de como jugaban mientras aprendían nuevos conceptos como por ejemplo propa, proa, babor, los nudos de marineros, y la velocidad en nudos. El nombre del galeón era "la Pepa" como nuestra Constitución, así que además de conceptos de matemáticas y de física implícitos en cada elemento del barco, también había otros conceptos abstratos que son un tema transversal, como la libertad de expresión. 


  Teníamos una perspectiva cónica increible, con un punto de fuga que apuntaba al cielo, cada vez que alzabamos la vista para buscar las velas. Una vez más encontramos geometría miraramos donde miraramos. La perspectiva cónica es la más natural que tenemos, nos indica profundidad, y que la percepción nos engaña, ya que las lineas paralelas convergen en un punto para nuestros ojos, aunque en la realidad sigan siendo paralelas; esto se debe a la visión estereoscópica, podemos hacer la prueba frente a las vías de un tren, parecen que convergen aunque son paralelas; si ponemos un objeto delante nuestro y lo miramos con un ojo, e inmediatamente lo cerramos y abrimos el otro ojo parecerá que el objeto se desplaza, lo que pasa es que cada ojo ve en un ángulo y juntos convergen en el mismo punto, esto nos da la visión estereoscópica, la perspectiva necesaria para saber si el peligro que nos puede acechar se encuentra delante nuestro o a kilómetros. Imaginaros por un momento ir a un safari, perdernos y no saber si el león hambriento está a un metro nuestro o a un kilómetro, esa es nuestra ventaja, el sí saberlo.



Más geometría en la manera de navegar, el timón de es un círculo dividido en grados, y otros instrumentos como el sextante, la brújula o las cartas de navegación (los mapas). Sin esta geometría nos perderíamos en el mar para siempre.


Muchas cuerdas para hacer nudos.Vean este video sobre como hacer algunos nudos marineros, los cinco nudos más importantes para navegar. Espero que os guste:



¿Y podemos llegar más lejos?. Sí, en matemáticas tenemos la teoría de nudos, pero eso será otra entrada del Carnaval, vamos a hacer una breve introdución utilizando la matemágia, o matemáticas mágicas, ¿y que son?, aquí ya no estamos hablando de la geometría, sino de la topología, la rama de las matemáticas que dice que un objeto puede deformarse y que mientras no se rompa seguirá siendo el mismo objeto, sólo quedará averiguar qué objeto es, y esto lo hacemos estudiando los invariantes, las propiedades que no cambian a pesar de la deformación del objeto. Vean un video.




Referencias

http://es.wikipedia.org/wiki/Nudo_(unidad)
http://www.fapastur.org/paginas/parapente/descargas/beaufort.pdf 

Araceli Giménez Lorente


TALLER DE POLIFIELTROS 3D 

Esta entrada participa en la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es Gaussianos




El sábado 5 de mayo nuestro cibermentor/mentor José Luis Rodríguez Blancas que participa en nuestro proyecto con su blog Juegos Topológicos, nos ilusionó con un taller de sólidos arquimedianos con los Polifieltros3d, se tracta de un juego topológico que podemos usar de material didáctico y viceversa. Nos lo pasamos genial todos, desde los niños de 4-11 años, los jovenes de 20-24 años, y los más mayores  (>30), profesores, padres e hijos aprendiendo los sólidos, las teselas y los fractales y compartiendo una experiencia muy divertida. Nuestra experiencia la realizamos en el colegio público "El Baladre" en la localidad de Picanya.

Empezamos con los sólidos platónicos
¡Vaya!, esto no lo sabíamos.



Queríamos nuestra propia estrella


Violeta con la ayuda de Loli jugó a hacer teselas con cometas y flechas.
Fué difícil pero les ganamos la batalla.






 ¡No sólo lo iban a hacer los niños!, los mayores también se divirtieron.









Los padres también intervinieron con las iteraciones del
tetraedro de Sierpenski.

Aquí tenemos los padres versus Sierpenski.


 Como este poliedro les resultó pequeño...


Hicieron otro más grande.


En resumen. Jugamos todos...


Y acabamos vistiendo al mago moebius con las teselas. 


Y como siempre las madres acabaron recogiendo.



Les damos las gracias a José Luis por su dedicación y esperamos verlo pronto. 
¡Un fuerte abrazo de parte de todos!.

¡Eso es todo amigos! 




Araceli Giménez Lorente
Fotos de Ruth Ciscar y de José Luis.



TALLER DE FRACTALES


Esta entrada participa en la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es
DesEquiLIBROS. Lectura y Cultura.


El pasado sábado 31 de marzo realizamos unas jornadas en el colegio  José Arnauda de Alcoy (Alicante).

   Por la mañana ofrecimos una charla para profesores, y por la tarde un taller de fractales para niños entre 3-15 años, simultánea a una charla de padres. Agradecemos la invitación que nos hizo el colegio así como la gran vocación docente que desempeñan día a día para ofrecer una atención personalizada, y sobretodo su interés en formarse en las Altas Capacidades y Talentos.
  El taller empezó por una clase teórica sobre la teoría de la dimensión hasta llegar a la geometría fractal. Hablamos de los diferentes tipos de fractales, de semejanza, y caóticos, los primeros son curvas que llenan todo el espacio, y son patrones que se repiten en la Naturaleza como los copos de nieve, las nuves, la línea de la costa de Inglaterra,...e incluso nuestro cerebro; los segundos son relativos al comportamiento en la Naturaleza, ¿qué es un pozo?...un atractor, como los huracanes, los tornados; ¿qué es una fuente?...un repulsor, como el crecimiento de una hoja.

Presentación de la teoría de la dimensión y de la geometria fractal
¿Y en qué consistía la parte práctica de los talleres?.

Eran muchos talleres con la misma finalidad, aprender que son los fractales y divertirnos.

Fractales de papel
Con Ruth Ciscar aprendimos a hacer fractales de papel y otras cosas como la curva de Hilbert con una cuerda multicolor y chinchetas. También la curva de Koch.

Curva de Hilbert

Curva de Koch



Con Javier Olaya vieron las líneas de fuerza de un imán debido a las limaduras de hierro que se distribuyeron en torno a un imán, así entendieron los conceptos de atractor-repulsor.



Con Voro Monjo profesor de la Escuela de Arte y Superior de Diseño de Alcoi (EASDAlcoi) y escultor, hicimos árboles fractales con alambre, pequeños bonsais fractales. Gràcies Voro!.

Voro y unos aprendizes de escultor


Gracias a nuestro cibermentor/mentor José Luis Rodríguez Blancas de la Universidad de Almería, por toda su ayuda prestada, sus consejos y sobretodo les damos las gracias por su material didáctico Polifieltros3d, ya que así pudimos entender las iteraciones del tetraedro de Sierpenski y construimos la primera iteración de la esponjita de Menger.  




¿Y los peques?

Los niños y niñas de 2-6 años estuvieron con Araceli  aprendiendo a construir el triangulo de Pascal-Tartaglia para luego pintar los números pares o los impares y que quedara como el triángulo de Sierpenski.
La pizarra nos sirvió de mucha ayuda para reforzar la explicación que tuvieron con las diapositivas.


La mirada fija en la pizarra para no perder detalle y ese brillo
en los ojos al ver la relación entre los números y las formas.
Pasito a pasito iteramos
Modelo en goma eva
A pesar de que no sabía escribir y la psicomotricidad falló
 un poco pudo completar con éxito hasta la tercera ileración.
A los 5 años los triángulos salían mejor. Cada color era una iteración.

Poquito a poco escribian los números en el triángulo de Pascal-Tartaglia.


Empezamos a completar el triángulo sumando los dos números anteriores.
Los mayores, con 7 años si pudieron acabar de pintarlo.

No acabamos, sólo se nos acabó el tiempo, pues no querían salir del aula, y eso para un docente es muy bueno, genial. Prometimos volver y hacer más, así fué como conseguimos que se fuesen con los padres.
 Es de agradecer la estimable ayuda que prestaron los alumnos de segundo de Bachillerato Artístico de la EASDAlcoi como monitores. Con los pequeños de 2-6 años estuvieron Sandra Ibañez y Àngela Cortés; con los mayores Éric Martínez y Laura Bravo. También se agradece la ayuda de María Eugenia Jordà, amiga y compañera de trabajo. Y sobretodo darle las gracias a la participación masiva de los maestros del colegio José Arnauda.

  Os animo a los docentes en matemáticas a que planteeis alguna actividad de este tipo, la Matemática Discreta ofrece muchas posibilidades y sobretodo enseña a los niños que hay algo más que números.

Nunca olvidaré la cara con la que entraron en el aula y como les cambió, como les brillavan los ojos cuando realizaban las diversas actividades del taller.

   ¡¡¡Hasta la próxima!!!




 LA CURVA DE HILBERT

Esta entrada participa en la edición 3.14 del Carnaval Matemáticas  cuyo blog anfitrión es
Hablando de Ciencia



  La Curva de Hilbert, declarada en los años 70 como un fractal,  es un caso particular de las curvas que llenan el espacio. La curiosa propiedad reside en el hecho de que se trata de  una curva continua que pasa por todos los puntos del cuadrado unidad.

  Veamos como empezar. Dibujaremos un cuadrado de lado unidad. Seguidamente dividiremos en cuatro cuadrados iguales el cuadrado unidad, y uniremos los centros de dichos cuadrados por segmentos, tal y como muestra la figura, ya tenemos la primera iteración.

primera iteración           segunda iteración                  tercera iteracción
                                             

   Estos cuadrados se dividen de nuevo en cuatro cuadrados y conectamos sus centros empezando siempre por el cuadrado inferior izquierdo para terminar en el centro del cuadrado inferior derecho. Podríamos continuar  así indefinidamente hasta el punto límite en que estas lineas llenarían el espacio, pero este punto límite estaría en el infinito, así es que nunca llegaríamos a llenar por completo el espacio.

cuarta iteracción
quinta iteracción
                                                                                                       
¡Inténtalo!, no solo es fácil, también divertido.



 A poco observador que seas verás que en los movimientos de la curva hay traslación, giro, simetría y homotecia, es decir, los movimientos elementales del plano euclídeo.

Hay traslación en los movimientos, compara las segundas iteracciones blanca y verde, y en los giros, como en la verde y amarilla.


Encontramos simetría entre el amarillo y azul, ya que son imágenes reflejas, simétricas.

La homotecia se produce cada vez que dividimos un cuadrado en cuadro cuadrados iguales más pequeños. Cada vez que hacemos esta operación el segmento que une los centros se contrae.

Si seguimos observando vemos que la curva continua pasa por todos los puntos del cuadrado unidad. Pero, ¿cómo una curva, que es unidimensional, llena un espacio bidimensional?  Esto es precisamente lo que hacen las curvas que llenan el espacio. Como en cada etapa o interacción cada segmento se sustituye por otros cuatro con la mitad de longitud, la curva límite llena el cuadrado unidad. Sorprendente, ¿no?. Pues no lo has visto todo.

Hemos construido la curva de Hilbert en la segunda dimensión, ¿te atreves a hacerlo en la tercera? El matemático  Canadiense Wiliam Gilbert se atrevió.


  
Bueno pues yo también he hecho un intento con los Kenex de mi hijo. 


Ya solo queda que te preguntes, ¿y esto para que vale?.  Hace 100 años se viene utilizando para el procesado de imágenes, gracias a ella es posible difuminar o degradar imágenes para mejorar su calidad pixelando la imágen.

Dada la correspondencia entre el espacio 1D y 2D que conserva bastante bien la localidad esta curva, también se usa en informática. Por ejemplo en el rango de direcciones IP. En dimensiones superiores, la Curva de Hilbert es una generación de códigos de Gray. Este es un código binario reflejado en que dos valores sucesivos difieren solamente en uno de sus dígitos y se usa para facilitar la corrección de errores en sistemas de comunicación (TDT).

Además nuestro cerebro es un fractal de semejanza, una curva llena todo el espacio craneal.

¡Esto es nada!.  Venga, atreveté y construye la tuya. 


Ruth Císcar